DG5MK - Komplexe Zahlen und Frequenzspektren

Komplexe Zahlen und Frequenzspektren

Um die verschiedenen Modulationsarten, deren Manipulation im Frequenzbereich und deren Demodulation besser zu verstehen, wird auf die Menge der Komplexen Zahlen zurückgegriffen.

Eine umfassende Einführung findet sich in vielen Standard-Mathematikwerken. Für die vorliegende Thematik sei auch auf die ausgezeichneten Erläuterungen in [5] und [6] verwiesen. Es folgt ein kurzer Abriss limitiert auf die Thematik SDR.

Eine Komplexe Zahl ist die Erweiterung der Reelen Zahlen um eine weitere Dimension, den Imaginären Anteil. Man kann sich dies so vorstellen, dass man den Zahlenstrahl der Reelen Zahlen (…, -2, -1,5, 0, 1,1, 2,8, …) in der Fläche ausdehnt entlang einer weiteren Achse, die sich Imaginäre Achse nennt. Eine Komplexe Zahl besteht somit aus einem Real- und einem Imaginärteil. In Bild 22 hat die Komplexe Zahl  den Realteil a und den Imaginärteil b. Der Imaginäteil wird dabei formal durch den Operator j abgetrennt, der definiert ist als , eine im Reelen Zahlenraum nicht erlaubte Operation.

 

 

Bild 22: Komplexe Zahlen

Ziel dieses Artikels ist es weder eine philosophische noch eine mathematische Diskussion anzustoßen, was denn j eigentlich ist. Auch mit negativen Zahlen hat man sich schließlich angefreundet, ohne deren Realität zu diskutieren.

Dazu ein Witz eines Mathematikprofessors: „Es sind 12 Studenten im Hörsaal, 14 gehen raus. Wenn jetzt noch 2 kommen, ist der Hörsaal leer“.

Zu bemerken ist, dass jede Multiplikation einer Komplexen Zahl mit j einer 90 Grad Drehung im Koordinatensystem entspricht.  Die Drehung geschieht dabei mathematisch positiv, also gegen den Uhrzeigersinn. Dies lässt sich anhand Bild 22 nachvollziehen.

Es wird gleich ersichtlich, warum diese formale Definition für Themen der Nachrichtentechnik und SDR eine enorme Hilfestellung ist.

Zunächst sei erwähnt, dass sich eine Komplexe Zahl nicht nur als Punktepaar in einem kartesischen Koordinatensystem ausdrücken lässt, sondern auch in einer weiteren Form, die sich Polarkoordinaten nennt. Dabei wird die Länge des Vektors zur Komplexen Zahl P und der Winkel zwischen diesem Vektor und der positiven Realen Achse herangezogen.

 

 

Während a und b jeden beliebigen positiven und negativen Wert annehmen können, um jeden Punkt P in der Komplexen Eben zu erreichen, so ist U auf einen positiven Wert und der Winkel auf einen Wert zwischen 0 und 360°beschränkt. Der Winkel wird dabei gegen den Uhrzeigersinn aufgetragen und üblicherweise nicht in Grad, sondern im Bogenmaß angegeben.

 

 

Das sich a und b durch trigonometrische Funktionen ausdrücken lassen, kann über die bekannten Sätze leicht gezeigt werden. Warum aber ist? Diese Beziehung zwischen Trigonometrischen Funktionen und Exponentialfunktion wurde erstmals durch Euler dargestellt und ist z. B. in [5] bewiesen. Des Weiteren gilt:

 

 

Die bisherige Definition der Komplexen Zahlen legt für den Winkel φ und den Betrag U nicht fest, ob er konstant ist oder sich periodisch oder aufgrund einer Nachrichteninformation ändert.

Analog der Komplexen Wechselstromrechnung bedient man sich nun der Komplexen Zahlen, um Nachrichtensignale darzustellen. Dabei wird der Winkel zunächst ersetzt durch:

 

 

Hat man eine Frequenz f von z.B. 1000Hz, so wird der Vollkreis (2π) 1000-mal in der Sekunde überstrichen. Im Zeigerdiagramm Bild 22 währe der Zeiger wieder auf der gleichen Position, da ja 1000-mal ein Vollkreis rotiert wurde. Die periodische Änderung wird dabei ähnlich eines stroboskopischen Effekts ausgeblendet.

In der Komplexen Darstellung wäre ein Kosinus- oder Sinusförmiger Träger:

 

 

Demnach besteht ein periodisches Kosinus-Signal aus einem Zeiger in der Komplexen Ebene des Betrages 0,5 der gegen den Uhrzeigersinn rotiert (Winkeländerung) und aus einem Zeiger des Betrages 0,5 der mit dem Uhrzeigersinn rotiert. Da immer um Vielfache des Vollkreises rotiert wird, ergibt sich eine quasistationäre Lage der Zeiger auf den Achsen. Beim Kosinus Signal liegt die Summe dieser Zeiger auf der positiven und negativen Realen Achse. Beim Sinussignal ist es die positive und negative Imaginäre Achse. Dies gilt, solange der Grundwinkel φ null ist. Ansonsten liegen die Zeiger nicht direkt auf den Achsen.

Diese quasistationäre Darstellung wird in der Komplexen Wechselstromrechnung genutzt, da hier in der Regel kapazitiv- und induktivbedingte Phasenverschiebungen bei einer Frequenz betrachtet werden. Mit einfachen Mitteln der Vektorrechnung lässt sich beispielsweise die Addition zweier Spannungen ungleicher Phase bewerkstelligen, bei Bedarf auch graphisch.

Reale Signale bestehen demnach aus zwei Komponenten. Die erste Komponente hat eine positive Frequenz, die Zweite eine negative Frequenz. Dem Funkamateur ist die Thematik nicht fremd, da dies bei AM in Form eines unteren und oberen Seitenbandes in Erscheinung tritt.

Die Teilkomponenten des Realen Signals werden als Analytische Signale bezeichnet.

Es wird noch gezeigt, dass die Digitale Signalverarbeitung in der Nachrichtentechnik im Wesentlichen aus der Transformation zwischen Realen- und Analytischen Signalen und deren Manipulation besteht.

Bisher liegt nunmehr eine Darstellung eines oder mehrere Signale gleicher Frequenz als quasistationärer Zeiger in der Komplexen Ebene und eine mathematische Darstellung mittels Komplexen Exponentialfunktionen vor. Weiterhin wurde gezeigt, dass Reale Signale aus Signalkomponenten positiver- und negativer Frequenzen bestehen. Für die Nachrichtentechnik und damit für SDR sind jedoch gerade Signale unterschiedlicher Frequenz von Interesse, z. B. solche die aus einer Mischung entstehen.

Daher wird die Komplexe Ebene um eine weitere Dimension ergänzt, um die Frequenz, bzw. die Kreisfrequenz ω. Bild 23 zeigt dieses Vorgehen.

 

 

Bild 23: Komplexe Frequenzspektren

Üblich ist es dabei, eine zweidimensionale Darstellungsweise zu wählen, getrennt nach Real- und Imaginärteil, oder aber getrennt nach Betrag und Phase in Polarkoordinaten.

Vergleicht man nun die Darstellung eines Realen Kosinus- oder Sinus-Signals in Komplexer Schreibweise mit dem Modell der mittleren Darstellung in Bild 23, so sind die Frequenzkomponenten unmittelbar ersichtlich. Die Exponentialfunktionen sind Spektralspitzen bei einer definierten Frequenz.

 

 

Da jedes Nachrichtensignal aus einer Anzahl von überlagerten Kosinus- und Sinus-Signalen besteht, liegt nun eine elegante Methode vor, ein Nachrichtensignal oder ein ganzes Frequenzspektrum visuell als Komplexes Signal darzustellen. Entgegen der oben rechts in Bild 23 üblichen Betragsabbildung eines Spektrums ermöglicht die ganzheitliche, Komplexe Darstellung die folgerichtige, auch graphische Verrechnung von Signalen oder von Teilen dieser Signale.

Zusätzlich bildet die mathematische Behandlung mit Hilfe der Komplexen Rechnung z. T. erhebliche Vorteile gegenüber einer Rechnung mit Trigonometrischen Funktionen.

Mehr noch, die Brücke zwischen mathematischer und graphischer Darstellung wird durch die aufgezeigten Eulerschen Beziehungen unmittelbar gegeben. Anhand der Exponenten der Exponentialfunktionen ist sofort ersichtlich, welche Frequenz vorliegt und auf welcher Achse sie aufzutragen ist. Der Vorfaktor in den Gleichungen gibt dabei die Länge des Zeigers an.

Es steht nun ein Handwerkszeug bereit, um die in der Nachrichtentechnik üblichen Modulations- und Demodulationsarten mathematisch in Komplexer Schreibweise abzubilden, zu berechnen und gleichzeitig diese Vorgänge graphisch darzustellen.

Zunächst soll aber mittels Labview geprüft werden, ob die Theorie auch zutrifft.

 

 

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