DG5MK - Einführende Theorie

Einführende Theorie

Eigenschaften von Kondensatoren und Spulen


Ingenieure lieben es die Realität in einfachen Modellen abzubilden. Nur deshalb ist so manche Entwicklung überhaupt möglich. Das Gleiche gilt für den Umgang mit Kondensatoren und Spulen. 

Das einfachste Modell ist es ein konzentriertes, verlustfreies Bauteil anzunehmen. Ein Kondensator ist dann nur durch einen einzigen Wert beschrieben, der Kapazität in F (bei einer Spule ist es die Induktivität in H). Bild 1 linke Seite zeigt dieses einfache Ersatzschaltbild. Für viele Anwendungen reicht diese Vereinfachung vollkommen aus. 

Aber schon im Amateurfunkbereich niedriger Radio Frequenzen stößt dieses Modell an seine Grenzen. Elektrischer Verlust ist zu berücksichtigen, welches durch die Einführung eines ohmschen Parallel- oder Serienwiderstandes, dem äquivalenten Verlustwiderstand (ESR) geschieht. In diesem Widerstand wird ein Teil der elektrischen Energie in Wärme umgesetzt. In der Mitte von Bild 1 ist der Typ mit Serienverlustwiderstand abgebildet. 

Die Güte Q (Quality) eines Kondensators oder einer Spule wird nunmehr schlicht und einfach definiert als das Verhältnis von Scheinwiderstand zu ohmschen Verlustwiderstand:


Gleichungen (1) und (2) zeigen zunächst dass die Güte aufgrund des Scheinwiderstandes frequenzabhängig ist. Jedoch wird weiter davon ausgegangen, dass es die einzelnen Elemente C, L, und der Verlustwiderstand R gerade nicht sind. Dies ist eine sehr wichtige Annahme und wie wir später sehen werden basieren allen Berechnungen in dem originalen AADE Design als auch in der LCQ-Meter Entwicklung auf diese Annahme.

Bild 1: Verschiedene Ersatzschaltbilder für Kondensatoren und Spulen

Bevor wir diskutieren ob diese Annahme praktikabel ist, schauen wir uns noch kurz das Ersatzschaltbild rechts in Bild 1 an. Es führt einen weiteren Detailgrad ein mittels Berücksichtigung von parasitären Effekten wie Verluste im Dielektrikum, ohmsche Widerstände und Induktivität der Anschlußdrähte eines Kondensator, sowie Magnetkern-Verluste, ohmsche Widerstände und Kapazität bei Anschlußdrähten einer Spule.

Anschlußdraht-Widerstände, Magnetkernverluste etc. werden jedoch immer noch als frequenzunabhängig angenommen. Manchmal ist dies auch im Amateurfunk nicht zu vernachlässigen. Dieser und ein weiterer Detailgrad wird in diesem Artikel jedoch nicht behandelt (mit einer Ausnahme bei der parasitären Kapazität des LCQ-Meter Oszillators).

Zurück zum Ersatzschaltbild in der Mitte von Bild 1, welches im nachfolgenden genutzt wird. Die Bilder 2, 3 und 4 zeigen Meßergebnisse für selektierte Kondensatoren und Spulen mittels eines Vektor-Netzwerk-Analysators. Aufgezeigt sind der Serienersatzwiderstand (ESR / Real Z), der Scheinwiderstand (IMAG Z), die Induktivität oder Kapazität sowie die Güte Q über den angegeben Frequenzbereich.

Die Induktivität der 3 µH Spule aus Bild 2 zeigt sich bis 15 MHz als relativ konstant. Gleichung (1) würde einen linearen Anstieg der Güte über die Frequenz vermuten lassen. Aufgrund von parasitären Effekten ist dies jedoch nicht der Fall. Demnach ist es nicht möglich eine gemessene Güte Q bei einer Frequenz auf eine Güte Q bei einer anderen Frequenz zu übertragen. Die Güte befindet sich auch nicht auf einer flachen Kurve. Marker 7 bei 8 MHz zeigt eine Güte von 287. Nur ein kleiner Schritt zurück in der Frequenz führt zu einer Güte von 250. Bei Spulen hoher Güte ist der Serienersatzwiderstand (ESR) sehr gering und eine Änderung von wenigen Milliohm führt zu signifikanten Änderungen der Güte.

Bild 3 zeigt die gleiche Messung für eine 100 µH Spule. Oberhalb von 2 MHz steigt die Induktivität bei ca. 7 MHz gegen positiv Unendlich an, um dann wieder als negative Induktivität zurückzukehren. Eine negative Induktivität ist nichts anderes als eine Kapazität (parasitär), die oberhalb von 7 MHz dominant wird. Parasitäre Kapazität und Induktivität treten bei 7 MHz in Resonanz, was als Frequenz der Eigenresonanz der Spule bezeichnet wird. Schon unterhalb von 1 MHz ist die gemessene Induktivität nicht konstant und beträgt 2 % Abweichung gegenüber der Messung um 100 KHz. Das gleiche Szenario der Eigenresonanz hätte sich in Bild 2 gezeigt, aber bei noch höheren Frequenzen.

Bild 4 zeigt eine ähnliche Messung für einen 1000 pF Glimmer Kondensator. Über die Frequenz gesehen ist die Kapazität relativ konstant, nimmt jedoch bis 16 MHz gegenüber der Kapazität bei 100 KHz um 8 % zu. Bei noch höheren Frequenzen ist eine weitere Zunahme zu sehen. Es ist zu vermuten dass bei wesentlich höherer Frequenz hier ebenfalls eine Eigenresonanz, nun mit der parasitären Induktivität der Anschlußdrähte, stattfindet. Ein weiterer wichtiger Punkt fällt bei der Betrachtung der Güte des Kondensators auf. Die Güte ist um 1 bis 2 Dekaden höher als die Güte der Spulen. Der Serienersatzwiderstand (ESR) fällt ab unter 1 Milliohm. Jede Meßmethode ist somit zu hinterfragen, ob sie solch kleine Widerstände noch korrekt erfassen kann.

Gleichzeitig zeigt die hohe Güte des Kondensators auch, daß bei Verwendung des Kondensators in einem Parallelschwingkreis die Leerlaufgüte des Kreises fast ausschließlich durch die Güte der Spule bestimmt wird. Bei preiswerten Keramikkondensatoren zeigt sich allerdings eine wesentlich geringere Güte!

Bild 2: Spule 3 µH auf T50-2 Amidon Ringkern

 

Bild 3: 100 µH Festinduktivität mit Anschlußdrähten

 

Bild 4: 1000 pF Glimmer Kondensator mit Anschlußdrähten

Die gezeigten Messungen lassen einige wichtige Schlußfolgerungen zu:

Eine Meßmethode die über die Frequenz eine konstante Kapazität von Kondensatoren und konstante Induktivität von Spulen annimmt ist immer in ihrer Genauigkeit limitiert. Genauigkeitserwartungen von 0,1 % oder besser sind unrealistisch.

Wird eine zu hohe Meßfrequenz für Einzelkomponenten gewählt kann dies mehr Probleme bereiten als es hilft. Eine durchgeführte Serie von Messungen zeigt das 0,5 MHz bis 1 MHz eine gute Wahl ist. Viele Leute sagen dass der originale AADE Entwurf wegen des alten LM 311 Komparators immer unterhalb von 1 MHz arbeitet. Vielleicht wurde die Meßfrequenz aber gerade klugerweise genau so gewählt um Probleme mit parasitären Effekten bei höheren Frequenzen zu vermeiden?

Im HF Amateurfunkbereich macht die Messung von isolierten Einzelkomponenten für Schwingkreise nicht immer Sinn. Die parasitären Effekte haben einen zu hohen Einfluß. Statt dessen ist ein Parallelschwingkreis besser als eine Einheit zu messen, so wie es das LCQ-Meter macht.

Die Güte Q ist nicht so kalkulierbar wie es ein einfaches Modell aus Bild 1 Mitte, zusammen mit den Gleichungen (1) und (2) vermuten läßt. Eine gemessene Güte Q ist immer eine spezifische Größe bezogen auf die aktuelle Meßfrequenz. Bei den meisten Amateurfunkanwendungen fällt die Frage der Gütemessung zurück auf die Gütemessung eines Schwingkreises (zumeist Parallelschwingkreis) bei Resonanzfrequenz. Eine Messung hat am besten in diesem Zielumfeld stattzufinden.

Bei der Verwendung von hochwertigen Kondensatoren in einem Schwingkreis stellt die gemessene Güte des Schwingkreises praktisch die Güte der Spule dar.

Messung von Kapazität und Induktivität

Es gibt viele verschiedene Wege um Kapazität und Induktivität zu messen. Ladezeitmessung an Kondensatoren sowie Phasen- und Amplitudenmessung von Spannung und Strom sind zwei Beispiele. Aber fast alle Methoden lassen sich in einer preiswerten Lösung kaum umsetzen.

Eine einfache Methode dagegen besteht in der Messung der Frequenzabweichung, die durch ein in einen bestehenden Schwingkreis eingefügtes Testobjekt (DUT) hervorgerufen wird. Bild 5 zeigt einen Schwingkreis in dem, bis auf den Referenzkondensator C_REF, alle Werte unbekannt sind.

Bild 5: Methode zur Messung von C und L über die Frequenzabweichung

Im ersten Schritt sind L_FIX und C_FIX zu bestimmen (linke Seite von Bild 5). Ohne C_REF beträgt die Resonanzfrequenz:

 

Wird C_REF nun hinzugefügt erniedrigt sich die Resonanzfrequenz auf: 

Gleichung (3) geteilt durch Gleichung (4) ergibt einen Term der nicht mehr von L_FIX abhängt! Aufgelöst nach C_FIX ergibt sich:

Nachdem nun C_FIX bekannt ist läßt sich auch L_FIX über Gleichung (3) bestimmen: 


Alle Bauelemente sind nun dem Wert nach bekannt und die Genauigkeit hängt lediglich von der Genauigkeit des Referenzkondensators ab. Es sollte aber nun niemand ein Vermögen für einen 0.1 % Referenzkondensator ausgeben! Vorab bitte nochmals den Abschnitt über die VNWA Messungen lesen!

Wird nun eine unbekannte Spule LX in Serie zu L_FIX, oder aber ein unbekannter Kondensator parallel zu C_FIX eingefügt so kann der unbekannte Wert einfach über die Messung der neuen, resultierenden Resonanzfrequenz bestimmt werden. C_REF wird dabei nicht eingebunden:

 

Ein interessanter Aspekt der Methode ist dabei die Berücksichtigung von parasitären Induktivitäten und Kapazitäten der Meßleitungen. Wird L_FIX an einer Seite nicht direkt sondern über die kurzgeschlossenen Meßleitungen angeschlossen (für zukünftige LX Messungen), oder aber die Meßleitungen bleiben angeschlossen aber unverbunden (für zukünftige CX Messungen) und wird dann über Gleichungen (5) und (6) C_FIX und L_FIX bestimmt, so sind parasitäre Induktivitäten und Kapazitäten in der Kalkulation bereits eingeschlossen. Dieser Vorgang wird oft als Kalibrierung bezeichnet.

Die gezeigte Mathematik wird in allen LC-Metern, die über die Bestimmung der Frequenzabweichung arbeiten, verwendet.

Diese Methode nutzt das einfachste Ersatzschaltbild aus Bild 5 (linke Seite). Nicht einmal Verluste werden berücksichtigt. In den nächsten Abschnitten werden wir sehen das es dennoch eine sehr brauchbare Methode ist, da die Frequenzabweichung durch die Berücksichtigung von Verlusten gegenüber anderen Effekten eher klein ist (siehe VNWA Messungen).

Es ist ebenfalls beachtenswert das alle Umsetzungen immer eine unbekannte Spule in Serie zu L_FIX und einen unbekannten Kondensator parallel zu C_FIX schalten. Dadurch ist sichergestellt, dass die neue Resonanzfrequenz stets kleiner ist als die Frequenz bei der Kalibrierung. Um im Zielfrequenzbereich zu bleiben verwenden alle Entwürfe eine Induktivität von ca. 50 µH bis 100 µH für L_FIX, sowie 500 pF bis 1000 pF für C_FIX und C_REF. Es sei noch mal betont, dass die Methode grundsätzlich mit allen Werten funktioniert. Eine geschickte Wahl verhindert aber die vorher diskutierten Probleme in höheren Frequenzbereichen.

Nach einigen Tests und Messungen wurde klar, dass auch das LCQ-Meter für die Messung von isolierten Komponenten bei diesem Verfahren verbleibt. Andere Verfahren zeigten keinen wesentlichen Vorteil gegenüber der aufgezeigten Methode.

Messung von Kapazität und Induktivität in Schwingkreisen

Es ist möglich das gezeigte Verfahren einen Schritt weiter zu gehen. Dadurch lassen sich Spulen und Kondensatoren in einem Schwingkreis (Parallelschwingkreis) in einem Vorgang ausmessen.

 

Bild 6: Methode zur Messung von L und C in Parallelschwingkreisen

Bild 6 zeigt einen Parallelschwingkreis bestehend aus LX und CX dessen Werte zu bestimmen sind. Bis auf eine parasitäre Kapazität C_PARA gibt es keine Festkapazität. Bei C_REF handelt es sich um einen Referenzkondensator, allerdings mit einem geringeren Wert als im vorherigen Abschnitt (100 pF). Dies ermöglicht wesentlich höhere Schwingfrequenzen.

Falls C_PARA bekannt wäre, so könnte LX und CX über eine Zu- und Abschaltung von C_REF bestimmt werden.

C_REF abgeschaltet ergibt eine Frequenz fx, C_REF zugeschaltet ergibt fy. Analog der vorherigen Berechnung gilt:

 

Nun ist auch LX bestimmbar:

Aber wie läßt sich nun C_PARA bestimmen, dessen Wert vom Oszillator und Leiterplattenentwurf abhängt, oder sogar frequenzabhängig ist?

Die Lösung besteht in der Messung verschiedener Resonanzfrequenzen mit verschiedenen LX ohne CX. Analog zu Bild 5 links wird C_FIX durch C_PARA und L_FIX durch LX ersetzt. Die parasitäre Kapazität kann dann bei der jeweiligen Frequenz berechnet werden. Das Ergebnis sind eine Reihe von C_PARA und Frequenzwerten. Um möglichst den gesamten HF Bereich von 100 KHz bis 30 MHz abzudecken, ist der Vorgang mit einigen verschiedenen LX zu wiederholen.

Im aktuellen LCQ-Meter Entwurf zeigte sich das C_PARA nichtlinear über die Frequenz ist. Mathematisch betrachtet führt die folgende Interpolationsfunktion zu guten Näherungswerten:

In der Leiterplattenversion 2.3 zusammen mit dem aktuellen Oszillatorentwurf ist k1 gleich 66,0 und k2 gleich 3,2. Demnach bewegt sich die parasitäre Kapazität von 10 pF bei hohen Frequenzen bis zu 25 pF bei niedrigen Frequenzen.

Die Verringerung dieser parasitären Kapazität war die Hauptmotivation für den Entwurf einer weiteren Leiterplattenversion. In der Version 1 war C_PARA mehr als doppelt so groß. Ein sorgfältiger Leiterplattenentwurf zahlt sich aus! Ohne Relais wurde die parasitäre Kapazität um 7 – 8 pF gemessen. Dieser Wert liegt sehr dicht an Simulationen mit LTspice bzw. an Aussagen aus den Datenblättern der verwendeten Transistoren.

Gleichung (11) ermöglicht es nunmehr C_PARA bei dem verwendeten Hardware-Entwurf für jede Meßfrequenz zu bestimmen. Mittels Gleichungen (9) und (10) kann dann CX und LX eines Parallelschwingkreises bestimmt werden.

Dieses Verfahren sieht kompliziert aus, ist es aber nicht. Die Interpolationsfunktion muß nur einmal für jeden Hardware-Entwurf bestimmt werden. Mittels eines Tabellenkalkulationsprogramms ist das schnell erledigt. Einfach die gefunden C_PARA und Frequenzpaare in eine Tabelle eingeben, einen Graphen erstellen und das Programm dann verschiedene Interpolationsfunktionen bestimmen lassen. Mittels Sichtprüfung wird die Funktion selektiert, welche sich optisch an die Wertepaare im Graphen am besten annähert.

Einige zusätzliche Kommentare:

Diese Methode zeigt die Netto-Kapazität und Induktivität eines Schwingkreises. Parasitäre Werte der Spule und des Kondensators überlagern sich gegenseitig. Diese Netto-Werte sind jedoch die wesentlichen Werte um einen Schwingkreis auf eine Zielfrequenz hin auszulegen.

C_PARA verfälscht die Resonanzfrequenz des Schwingkreises zu niedrigeren Werten hin. Die echte Resonanzfrequenz von LX und CX kann zurückberechnet werden. Die Software des LCQ-Meters kümmert sich darum.

Mit dieser Methode können die Resonanzfrequenzen mit und ohne C_REF sehr unterschiedlich und auch sehr hoch werden (bis zu 30 MHz und darüber hinaus). Dieses steht unter Umständen nicht im Einklang mit der Annahme von frequenzunabhängigen Werten von LX, CX und C_REF. Im nachfolgenden wird aufgezeigt das diese Methode dennoch gute Werte liefert.

Messung von Güte an Spulen und Schwingkreisen

Gleichungen (1) und (2) zeigen, dass eine Bestimmung der Güte auf eine Bestimmung des seriellen Verlustwiderstandes bei einer gegebenen Frequenz zurückgeht.

Bei einem Parallelschwingkreis verhält es sich nicht anders, jedoch werden die Verlustwiderstände von Spule und Kondensator zu einem neuen, resultierenden Verlustwiderstand addiert. Da der Verlustwiderstand des Kondensators relativ gering ist, wird die Güte des Schwingkreises fast ausschließlich über die Güte der Spule bestimmt. Diese Güte des Schwingkreises wird auch als Leerlaufgüte bezeichnet, da es keinen weiteren dämpfenden Widerstand durch eine Quelle oder einen Verbraucher gibt.

Im Endeffekt ist also der serielle Verlustwiderstand für die Ermittlung der Güte zu bestimmen.

Für dessen Bestimmung existieren viele Methoden und die Meisten sind in [2] im Detail aufgeführt. Deren Eignung in Hinblick auf einen preiswerten und handlichen Meßgeräteentwurf läßt sich am besten anhand eines durchgehenden Beispiels diskutieren.

Die Güte einer 10 µH Spule soll bei 5 MHz gemessen werden. Mit einer angenommenen Güte von 150 und einem Kondensator von 100 pF sehr hoher Güte wird ebenfalls ein Schwingkreis gebildet. Alle Meßmethoden, isoliert an der Spule oder aber an dem gebildeten Schwingkreis gehen nun zurück auf die Bestimmung des seriellen Verlustwiderstandes. Mit Gleichung (1) läßt sich für diesen eine Größe von 2,1 Ohm abschätzen.

Die Erwartungshaltung an jede Meßmethode ist es nun eine 10 % Erhöhung der Güte auf 165 (Verringerung des Widerstandes auf 1,9 Ohm) sicher abzubilden. Bzgl. der zu erfassenden physikalischen Größe, sei es Spannung, Strom, Phase, Frequenz oder auch Zeit, wird dabei keine Einschränkung gemacht. Jede Methode ist auf ihre Eignung in Richtung preiswertes, handliches Meßgerät zu prüfen. Zu aufwendige und teure Verfahren werden daher von vornhinein ausgeschlossen.

Meßmethoden für Q die eine Einstellung von Komponenten erfordern

In [2], in der Literatur und im Internet werden zahlreiche Methoden beschrieben welche eine Einstellung von Komponenten wie Spulen, Kondensatoren oder Widerständen erfordern. Ziel ist es dabei entweder eine Resonanzsituation herbeizuführen (Resonanz-Methoden) oder aber die unbekannten Elemente mit bekannten Referenzelementen zu vergleichen (Brücken-Methoden). Diese Methoden werden nicht weiter betrachtet, da wir weder händisch noch elektromechanisch irgendwelche Komponenten einstellen möchten.

Meßmethoden für Q welche eine Einstellung der Meßfrequenz oder einen separaten Oszillator erfordern

Bei Resonanzmethoden ist es möglich eine Resonanz über eine Änderung der Frequenz statt über eine Änderung der Komponentenwerte herbeizuführen.

Eine Frequenzänderung ist ebenso erforderlich bei umfangreicheren Methoden wie IV-Messung, RF-IV Messung, Netzwerk Analysator Messung, ‚Auto Balanced Bridge‘ Messung. Diese sind alle in [2] beschrieben und erfordern einen separaten, einstellbaren Oszillator, um für die Messung einen Strom durch das Meßobjekt zu senden und um dann wiederum Spannung und Strom an diesem zu messen.

Eine sehr praktikable Methode ist in [4] beschrieben. Es wird die durch einen Schwingkreis erzeugte Dämpfung gemessen. Aus der erhaltenden Dämpfung wird die Güte berechnet. Diese sogenannte Notch-Methode (parallele Variante) wird später noch für Vergleichmessungen herangezogen.

Dennoch passen alle Methoden nicht zu einem gewünschten, preiswerten Ansatz. Unter anderem waren die abstimmbaren Oszillatoren (DDS, SI570, PLL) zu kostenintensiv.

Messung von Q über Resonanzfrequenzverschiebung

Jeder Amateurfunker (nahezu jeder) kennt die Formel zur Bestimmung der Resonanzfrequenz eines Schwingkreises. Diese gilt bei Parallelschwingkreisen jedoch nur für die Annahme eines verlustfreien Schwingkreises:

 

Mit der Einführung von Verlust, durch einen Serienverlustwiderstand R_S, ergibt sich eine etwas niedrigere Schwingfrequenz:

 

Gleichung (13) würde es nun erlauben R_S und damit die Güte zu berechnen, falls alle andere Komponenten und die Resonanzfrequenz bekannt sind.

 

Bild 7: Messung von Q mittels Frequenzänderung

Wenn wie in Bild 7 ersichtlich zwei bekannte Referenzkondensatoren zu und abgeschaltet werden läßt sich aus 3 gemessenen Frequenzen tatsächlich R_S bestimmen.

Die Mathematik zur Bestimmung von L, C und R_S ist etwas umfangreich und soll daher hier nicht gezeigt werden. Einfacher ist die Abschätzung der Frequenzänderung für das definierte Beispiel.

Ohne Verlustwiderstand würde sich nach (12) für die 10 µH Spule und den 100 pF Kondensator eine Resonanzfrequenz von 5.032.921 Hz ergeben. Mit Einführung des Verlustwiderstandes von 2,1 Ohm ergibt sich nach (13) eine Frequenz von 5.032.810 Hz. Der Unterschied beträgt lediglich 111 Hz. Ein guter Beleg dafür, dass in den meisten Fällen Gleichung (12) vollkommen ausreicht. Wenn Q nun um die besagten 10 % erhöht wird (R_S nun 1,9 Ohm) ergibt sich eine neue Resonanzfrequenz von 5.032.830 Hz. Das sind lediglich 20 Hz Unterschied bei einer 10 % Änderung der Güte!

Diese Methode könnte schnell und einfach genutzt werden. Ein Mikrocontroller ist auch in der Lage solch kleine Frequenzänderungen sicher zu messen, insbesondere wenn die Messung auf über mehrere Sekunden ausgedehnt würde. Der Schwachpunkt des Konzeptes ist die Stabilität des Oszillators. Unter Laborbedingungen funktionierte die Methode sehr gut. Aber schon ein kleiner Luftzug über die Oszillatorkomponenten änderte die Frequenz relativ stark.

Ein ähnlicher Ansatz ist möglich indem zur Spule (und damit zu R_S) bekannte Referenzwiderstände in Serie eingefügt werden. Dies führt allerdings zu einer mathematischen Lösung die nur noch numerisch gelöst werden kann. Auch das wäre machbar, löst aber nicht die Herausforderung der relativ kleinen Frequenzänderung auf.

Mir ist nicht bekannt, dass diese Methode der Gütebestimmung über Frequenzänderung bereits publiziert ist. Lange Zeit war sie aufgrund ihrer schlichten Einfachheit auch der Kandidat für die praktische Implementierung im LCQ-Meter. Theoretisch als auch praktisch funktioniert sie, ist aber schlecht handhabbar und wird daher nicht weiter betrachtet.

Vielleicht findet ein Amateurfunker einen Weg einen entsprechend für Messungen geeigneten, hochstabilen LC-Oszillator mit der Konstanz eines Quarz-Oszillators aufzubauen?

Messung von Q über Konfigurationsänderung des Schwingkreises

Gleichung (13) gilt nur für Parallelschwingkreise. Bei Reihenschwingkreisen ändert sich die Resonanzfrequenz bei Einführung von Verlust nicht und es gilt weiterhin Gleichung (12).

Diese Tatsache kann ausgenutzt werden, um durch Konfiguration von L und C zunächst in einem Parallelschwingkreis, dann in einem Reihenschwingkreis, R_S zu bestimmen.

Ohne die basierende Mathematik weiter auszuführen ergibt sich zu guter Letzt die gleiche im vorherigen Abschnitt aufgeführte kleine Frequenzänderung. Zusätzlich dürfte es schwierig sein einen Oszillator zu entwerfen dessen Frequenz ausschließlich wahlweise durch einen Serien- oder Parallelschwingkreis bestimmt wird, ohne dass sich weitere parasitäre Effekte negativ bemerkbar machen.

Schauen wir uns eine weitere Methode an die schlußendlich verwendet wird.

Messung von Q über die Hüllkurvenspannung bei Abschaltung eines Oszillators

Alle bisherigen Methoden beziehen sich auf einen eingeschwungenen, stabilen Zustand. Nichts hält uns aber davon ab eine Betrachtung im Zeitbereich (Transientenbereich) durchzuführen. Der Ansatz ist eine Betrachtung der Ausklingphase eines abgeschalteten Oszillators, dessen frequenzbestimmendes Element ein Parallelschwingkreis ist.

Bild 8: Amplitude über die Zeit an einem Schwingkreis

In einem Oszillatorentwurf mit einem Parallelschwingkreis als frequenzbestimmendes Element ergibt sich eine stabile Schwingung bei Resonanzfrequenz mit einer gewissen Amplitude.

Bild 8 zeigt eine Oszilloskop-Messung des aktuellen LCQ-Meters. Die blaue Kurve zeigt die Spannung als Sinuskurve am LC-Schwingkreis. Sie hat eine konstante Amplitude bis zum Zeitpunkt Null auf der x-Achse.

Zu diesem Zeitpunkt wird der Oszillator abgeschaltet. Dem Schwingkreis wird keine weitere Energie zugeführt. Die Abschaltung geschieht dabei ohne starke Dämpfung des Schwingkreises. Vom Zeitpunkt Null an verringert sich die Amplitude der Schwingung, weil ein Teil der Energie durch Verluste im Schwingkreis in Wärme umgesetzt wird. Die Stärke dieser Verringerung der Amplitude steht in direktem Verhältnis zum Verlust im Schwingkreis und damit zur Güte des Schwingkreises.

Mit anderen Worten, falls es möglich ist die Resonanzfrequenz und die Amplitude an 2 Zeitpunkten zu messen, so ist die Güte Q bestimmbar.

Für die Spannung über dem Schwingkreis gilt die Gleichung:

 

 

Die Gleichung besteht aus 3 Termen. U_0 stellt die Maximalamplitude der Schwingung da. Die Schwingung selbst wird durch den Kosinus-Term beschrieben. Hier findet sich auch die Resonanzfrequenz f_r wieder. Schließlich wird die Hüllkurve der Schwingung durch den Exponentialterm beschrieben, immer mit der Annahme, dass sich der gesamte Verlust in einem Verlustwiderstand R_S konzentriert. Offensichtlich hängt die Hüllkurvenamplitude zu einem bestimmten Zeitpunkt von R_S und damit von der Güte ab. Das macht auch aus der Erfahrung heraus Sinn. Bei höherem Verlust sollte die Schwingung schneller abklingen.

Nehmen wir nun an wir können die Hüllkurvenamplitude mit einer Art Spitzenwertdetektor zu einem beliebigen Zeitpunkt messen. Dann können wir den Kosinusterm aus weiteren Überlegungen ausschließen. Der einfachste Ansatz um zu R_S zu gelangen ist die Hüllkurvenamplitude zum Zeitpunkt null und zu einem weiteren Zeitpunkt t1 zu messen:

     

Gleichung (16) dividiert durch Gleichung (15) ergibt nach Auflösung nach R_S Gleichung (17):

 

Der letzte Schritt ist es Gleichung (1) einzubringen und anschließend nach Q aufzulösen:

 

Der interessante Punkt ist, das Q nicht direkt abhängig ist von irgendwelchen Werten der Komponenten. Diese Werte gehen über die Resonanzfrequenz ein, die wiederum sehr einfach mit Hilfe eines Mikrokontrollers gemessen werden kann. Die Herausforderung ist die Messung der Hüllkurvenamplitude zu einem bestimmten Zeitpunkt. Jedoch ist ein Mikrokontroller ideal um bestimmte Dinge zu bestimmten Zeiten durchzuführen. Die verbleibende Herausforderung ist damit der Spitzenwertdetektor. Aber es gibt eine Lösung. Bild 8 zeigt eine echte Messung der Hüllkurve durch einen Spitzenwertdetektor (rote Kurve).

Eine besondere Eigenschaft dieser Meßmethode zur Bestimmung der Güte Q ist die Tatsache, das die Methode um so genauer wird um so höher die Güte ist. Die zweite, zu messende Spannung fällt bei höherer Güte flacher ab und erlaubt so genauere Messungen über einen längeren Zeitraum. Bei anderen Methoden führt eine höhere Güte stets zu schwierigeren Messungen mit weniger Genauigkeit.

Eine weitere Frage betrifft die Spannungsänderung sowie die erforderliche Meßauflösung bei kleinen Güteänderungen. Zurück zu unserem Beispiel der 10 % Änderung der Güte.

Unser Beispielschwingkreis, bestehend aus 100 pF, 10 µH und 2,1 Ohm, habe zum Zeitpunkt Null die Schwingungsamplitude 1 Volt. Gleichung (16) zeigt nach 10 Mikrosekunden eine Amplitude von 0,349 Volt auf. Wenn Q nun um 10 % erhöht sein soll (R_S ist 1,9 Ohm) ergibt sich stattdessen einen Spannung von 0.387 Volt. Das ist eine 11 % Änderung der Spannung mit einer erforderlichen Auflösung, welche einfach mit einem 10 Bit ADC eines Mikrocontrollers gemessen werden kann.

In Summe, auch wenn diese Methode zugegebenermaßen auf den ersten Blick etwas seltsam erscheint, so paßt sie dennoch am besten zu den Anforderungen eines preiswerten und handlichen Meßgeräteentwurfs.

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